Cube & Cuboid
Practice Questions & Answers
A cube has an edge of 6 cm. Into how many smaller cubes of edge 2 cm can it be divided? (एक घन की प्रत्येक भुजा 6 सेमी है। इसे 2 सेमी भुजा वाले कितने छोटे घनों में विभाजित किया जा सकता है?)
The number of smaller cubes along each edge is 6 ÷ 2 = 3. Therefore, the total number of smaller cubes is 3³ = 27. Hence, 27 smaller cubes can be obtained. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या = 6 ÷ 2 = 3। अतः छोटे घनों की कुल संख्या = 3³ = 27। इसलिए कुल 27 छोटे घन प्राप्त होंगे।)
A cube of edge 24 cm is divided into 216 smaller cubes of equal volume. What is the edge length of each smaller cube? (24 सेमी भुजा वाले एक घन को समान आयतन वाले 216 छोटे घनों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक छोटे घन की भुजा की लंबाई कितनी है?)
Since 216 = 6³, the large cube is divided into 6 equal parts along each edge. Therefore, the edge of each smaller cube = 24 ÷ 6 = 4 cm. Thus, based on the given data, the correct answer should be 4 cm, i.e. option D. The supplied answer key of 6 cm is mathematically inconsistent. (क्योंकि 216 = 6³, इसलिए बड़े घन की प्रत्येक भुजा को 6 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। अतः प्रत्येक छोटे घन की भुजा = 24 ÷ 6 = 4 सेमी। इसलिए दिए गए आँकड़ों के अनुसार सही उत्तर 4 सेमी अर्थात विकल्प D होना चाहिए। दी गई 6 सेमी की उत्तर-कुंजी गणितीय रूप से सही नहीं है।)
A cube of edge 12 cm is divided into smaller cubes of edge 4 cm. What is the total number of smaller cubes? (12 सेमी भुजा वाले एक घन को 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। छोटे घनों की कुल संख्या कितनी होगी?)
The number of smaller cubes along each edge is 12 ÷ 4 = 3. Therefore, the total number of smaller cubes is 3³ = 27. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या = 12 ÷ 4 = 3। अतः छोटे घनों की कुल संख्या = 3³ = 27।)
A cube of edge 12 cm is divided into smaller cubes of edge 4 cm. How many of the smaller cubes are located at the corners? (12 सेमी भुजा वाले एक घन को 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। कितने छोटे घन कोनों पर स्थित होंगे?)
A cube has exactly 8 corners. Therefore, there are 8 smaller cubes located at the corners. (एक घन के कुल 8 कोने होते हैं। इसलिए कोनों पर स्थित छोटे घनों की संख्या 8 होगी।)
A cube of edge 12 cm is divided into smaller cubes of edge 4 cm. How many smaller cubes are located at the middle of the edges? (12 सेमी भुजा वाले एक घन को 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। घन की भुजाओं के मध्य भाग में स्थित छोटे घनों की कुल संख्या कितनी होगी?)
There are n = 12 ÷ 4 = 3 smaller cubes along each edge. The number of cubes located at the middle of the edges is 12(n − 2) = 12(3 − 2) = 12. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या n = 12 ÷ 4 = 3 है। भुजाओं के मध्य भाग में स्थित छोटे घनों की संख्या = 12[n − 2] = 12[3 − 2] = 12।)
A cube of edge 12 cm is divided into smaller cubes of edge 4 cm. How many smaller cubes are located at the centers of the faces? (12 सेमी भुजा वाले एक घन को 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। फलकों के केंद्रीय भाग में स्थित छोटे घनों की कुल संख्या कितनी होगी?)
There are n = 3 smaller cubes along each edge. The number of smaller cubes at the centers of the six faces is 6(n − 2)² = 6(3 − 2)² = 6. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या n = 3 है। छह फलकों के केंद्रीय भाग में स्थित छोटे घनों की संख्या = 6[n − 2]² = 6[3 − 2]² = 6।)
A cube of edge 12 cm is divided into smaller cubes of edge 4 cm. How many smaller cubes are completely internal and do not lie on any surface? (12 सेमी भुजा वाले एक घन को 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। कितने छोटे घन पूर्णतः आंतरिक होंगे और किसी भी सतह पर स्थित नहीं होंगे?)
There are n = 12 ÷ 4 = 3 smaller cubes along each edge. The number of completely internal cubes is (n − 2)³ = (3 − 2)³ = 1. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या n = 12 ÷ 4 = 3 है। पूर्णतः आंतरिक छोटे घनों की संख्या = [n − 2]³ = [3 − 2]³ = 1।)
A cuboid of length 9 cm, breadth 9 cm, and height 18 cm is cut into cubes of edge 3 cm. How many small cubes are obtained? (9 सेमी लंबाई, 9 सेमी चौड़ाई और 18 सेमी ऊँचाई वाले एक घनाभ को 3 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। कुल कितने छोटे घन प्राप्त होंगे?)
Number of cubes = (9 ÷ 3) × (9 ÷ 3) × (18 ÷ 3) = 3 × 3 × 6 = 54. Therefore, 54 smaller cubes are obtained. (छोटे घनों की संख्या = [9 ÷ 3] × [9 ÷ 3] × [18 ÷ 3] = 3 × 3 × 6 = 54। अतः कुल 54 छोटे घन प्राप्त होंगे।)
A solid cube of edge 3 cm is painted on all its faces and then cut into cubes of edge 1 cm. How many of the smaller cubes will have exactly two painted faces? (UPSC CSAT 2018) (3 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन की सभी सतहों पर पेंट किया जाता है और फिर उसे 1 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों के ठीक दो फलक रंगे हुए होंगे? [UPSC CSAT 2018])
The number of smaller cubes along each edge is n = 3 ÷ 1 = 3. Cubes having exactly two painted faces lie along the edges, excluding the two corner cubes on each edge. Their number is 12(n − 2) = 12(3 − 2) = 12. (प्रत्येक भुजा पर छोटे घनों की संख्या n = 3 ÷ 1 = 3 है। ठीक दो रंगे हुए फलकों वाले छोटे घन किनारों पर होते हैं, लेकिन प्रत्येक किनारे के दोनों कोने वाले घनों को छोड़ दिया जाता है। इनकी संख्या = 12[n − 2] = 12[3 − 2] = 12।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes have exactly one surface painted red? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनकी ठीक एक सतह लाल रंग से रंगी हुई है?)
Number of divisions along each edge, n = 16/4 = 4. The number of smaller cubes with exactly one painted face is 6(n-2)^2 = 6(2)^2 = 24. (प्रत्येक किनारे पर विभाजनों की संख्या n = 16/4 = 4 है। ठीक एक रंगे हुए फलक वाले छोटे घनों की संख्या = 6[n-2]^2 = 6[2]^2 = 24 है।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes have exactly two surfaces painted red? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनकी ठीक दो सतहें लाल रंग से रंगी हुई हैं?)
Here n = 16/4 = 4. Cubes with exactly two painted faces lie along the edges, excluding the corner cubes. Their number is 12(n-2) = 12(2) = 24. (यहाँ n = 16/4 = 4 है। ठीक दो रंगे हुए फलकों वाले छोटे घन किनारों पर होते हैं, लेकिन कोने वाले घन इसमें शामिल नहीं होते। इनकी संख्या = 12[n-2] = 12[2] = 24 है।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes have exactly three surfaces painted red? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनकी ठीक तीन सतहें लाल रंग से रंगी हुई हैं?)
Only the eight corner cubes have exactly three painted faces. Therefore, the answer is 8. (केवल आठ कोने वाले छोटे घनों की ठीक तीन सतहें रंगी हुई होती हैं। इसलिए उत्तर 8 है।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes have four or more surfaces painted red? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके चार या अधिक फलक लाल रंग से रंगे हुए हैं?)
A smaller cube can have at most three painted faces because a cube has only three faces meeting at any one corner. Therefore, no smaller cube can have four or more painted faces. (किसी छोटे घन की अधिकतम तीन सतहें ही रंगी हो सकती हैं, क्योंकि किसी एक कोने पर अधिकतम तीन फलक मिलते हैं। इसलिए चार या अधिक रंगे हुए फलकों वाले छोटे घनों की संख्या 0 है।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes have no surface painted red? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनकी कोई भी सतह लाल रंग से रंगी हुई नहीं है?)
Here n = 16/4 = 4. The completely internal cubes have no painted surface. Their number is (n-2)^3 = (4-2)^3 = 8. (यहाँ n = 16/4 = 4 है। पूरी तरह आंतरिक छोटे घनों की कोई सतह रंगी हुई नहीं होती। इनकी संख्या = [n-2]^3 = [4-2]^3 = 8 है।)
A cube of side 16 cm is painted red on all its surfaces and then cut into smaller cubes of side 4 cm each. How many smaller cubes are obtained in total? (16 सेमी भुजा वाले एक घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 4 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काट दिया जाता है। कुल कितने छोटे घन प्राप्त होंगे?)
Number of smaller cubes along each edge is n = 16/4 = 4. Therefore, total smaller cubes = n^3 = 4^3 = 64. (प्रत्येक किनारे पर छोटे घनों की संख्या n = 16/4 = 4 है। इसलिए कुल छोटे घनों की संख्या = n^3 = 4^3 = 64 है।)