Mathematics - Geometry
Practice Questions & Answers
The angle subtended by an arc at the center is 72°, and its length is 22 cm. Find the radius of the circle. (एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण 72° है और इसकी लंबाई 22 सेंटीमीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।)
Arc length = (θ/360)×2πr; 22 = (72/360)×2π×r gives r ≈ 17.5 cm. (चाप की लंबाई = [θ/360]×2πr; 22 = [72/360]×2π×r से r ≈ 17.5 सेंटीमीटर प्राप्त होता है।)
At an intersection of two lines, two angles are vertically opposite. If one of the angles measures 45°, what is the measure of the other angle? (दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर दो कोण ऊर्ध्वाधरत: विपरीत होते हैं। यदि उनमें से एक कोण का माप 45° है, तो दूसरे कोण का माप क्या है?)
Vertically opposite angles are always equal, so the other angle is also 45°. (ऊर्ध्वाधरत: विपरीत कोण हमेशा बराबर होते हैं, इसलिए दूसरा कोण भी 45° है।)
The Incenter of a triangle is located at (3, 4). The length of the altitude from the Incenter to side AB is 2 units. What is the radius of the triangle's incircle? (एक त्रिभुज का अंत:केंद्र [3, 4] पर स्थित है। अंत:केंद्र से भुजा AB तक की ऊँचाई की लंबाई 2 इकाई है। त्रिभुज के अंत:वृत्त की त्रिज्या क्या है?)
The radius of the incircle equals the perpendicular distance from the incenter to any side, which is given as 2 units. (अंत:वृत्त की त्रिज्या अंत:केंद्र से किसी भी भुजा तक की लंबवत दूरी के बराबर होती है, जो 2 इकाई दी गई है।)
If in triangle ABC, DE || BC and AD/DB = 1/2, and AE = 5 cm, then EC is: (यदि त्रिभुज ABC में, DE || BC और AD/DB = 1/2, और AE = 5 सेमी, तो EC है:)
By the Basic Proportionality Theorem, AD/DB = AE/EC, so 1/2 = 5/EC, giving EC = 10 cm. (मूल आनुपातिकता प्रमेय के अनुसार, AD/DB = AE/EC, इसलिए 1/2 = 5/EC, जिससे EC = 10 सेमी प्राप्त होता है।)
Chord AB and chord CD are equal and subtend angles of 50° and x° at the center respectively. Find x. (जीवा AB और जीवा CD बराबर हैं और केंद्र पर क्रमशः 50° और x° कोण अंतरित करती हैं। ज्ञात कीजिए x.)
Equal chords subtend equal angles at the center, so x = 50°. (बराबर जीवाएं केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, इसलिए x = 50°।)
The sum of the interior angles of a regular polygon is six times the sum of its exterior angles. Determine the number of diagonals in the polygon. (एक समबहुभुज के आंतरिक कोणों का योग, उसके बाह्य कोणों के योग का छः गुना है। बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।)
Sum of interior angles=6×360=2160; (n-2)×180=2160 gives n=14; diagonals=n(n-3)/2=14×11/2=77. (आंतरिक कोणों का योग=6×360=2160; [n-2]×180=2160 से n=14 मिलता है; विकर्ण=n[n-3]/2=14×11/2=77।)
A triangle with sides 5 cm, 12 cm, and 13 cm has an inradius of 2 cm. What is its area? (5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या है?)
Semi-perimeter s=(5+12+13)/2=15; Area=r×s=2×15=30 cm². (अर्ध-परिमाप s=[5+12+13]/2=15; क्षेत्रफल=r×s=2×15=30 सेमी²।)
In a circle, there is a chord measuring 20 cm that is located 15 cm away from the center. What is the approximate radius of the circle? (एक वृत्त में, 20 सेमी माप की एक जीवा है जो केंद्र से 15 सेमी दूर स्थित है। वृत्त की अनुमानित त्रिज्या क्या है?)
Half-chord=10 cm; r²=15²+10²=225+100=325; r=√325≈18 cm. (आधी जीवा=10 सेमी; r²=15²+10²=225+100=325; r=√325≈18 सेमी।)
A tangent is drawn to a circle with a radius of 5 cm. At the point of tangency, what is the angle between the tangent and the radius? (5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है। स्पर्श बिंदु पर, स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण क्या है?)
The tangent to a circle is always perpendicular to the radius at the point of tangency, forming a 90° angle. (वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर हमेशा त्रिज्या के लंबवत होती है, जो 90° का कोण बनाती है।)
A circle with a radius of 10 cm, and a chord makes a 60° angle at the center. What is the length of that chord? (एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 10 सेमी है, और एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। उस जीवा की लंबाई क्या है?)
Chord length = 2r×sin(θ/2) = 2×10×sin30° = 20×0.5 = 10 cm. (जीवा की लंबाई = 2r×sin[θ/2] = 2×10×sin30° = 20×0.5 = 10 सेमी।)
Three points P, Q, R, and S are located on the circumference of a circle. If ∠RPS = 30° and ∠PQS = 40°, what is the measure of ∠PRS? (तीन बिंदु P, Q, R और S एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। यदि ∠RPS = 30° और ∠PQS = 40° है, तो ∠PRS का माप क्या है?)
∠PQS and ∠PRS both subtend the same arc PS from the same side, so they are equal: ∠PRS = 40°. (∠PQS और ∠PRS दोनों समान चाप PS को समान दिशा से अंतरित करते हैं, इसलिए वे बराबर हैं: ∠PRS = 40°।)
In a circle, points P, Q, R, and S lie on the circumference such that chords PR and QS intersect at the center, and both ∠RPQ and ∠RSQ are subtended by the same arc RQ. If ∠RPQ = 50°, what is the measure of ∠RSQ? (एक वृत्त में, बिंदु P, Q, R और S परिधि पर इस प्रकार स्थित हैं कि जीवाएँ PR और QS केंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं, और ∠RPQ और ∠RSQ दोनों एक ही चाप RQ द्वारा अंतरित हैं। यदि ∠RPQ = 50° है, तो ∠RSQ का माप क्या है?)
Angles subtended by the same arc from the same side are equal, so ∠RSQ = ∠RPQ = 50°. (समान चाप द्वारा समान दिशा से अंतरित कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠RSQ = ∠RPQ = 50°।)
A circle with radius r has a tangent line at a point P on the circle. The distance of the tangent from point P to the external point Q is 10 cm. The distance from the center of the circle to point Q is 13 cm. Find the radius of the circle. (त्रिज्या r वाले एक वृत्त पर बिंदु P पर एक स्पर्श रेखा है। बिंदु P से बाह्य बिंदु Q तक स्पर्श रेखा की दूरी 10 सेमी है। वृत्त के केंद्र से बिंदु Q तक की दूरी 13 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।)
By Pythagoras theorem, r²+10²=13²; r²=169-100=69; r=√69. (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, r²+10²=13²; r²=169-100=69; r=√69।)
Two circles of radii 6 cm and 2 cm are such that the distance between their centers is 8 cm. How many common tangents can be drawn? (6 सेमी और 2 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्त इस प्रकार हैं कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी 8 सेमी है। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?)
Since distance between centers (8) equals sum of radii (6+2=8), the circles touch externally, allowing 3 common tangents. (चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी [8] त्रिज्याओं के योग [6+2=8] के बराबर है, वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, जिससे 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ प्राप्त होती हैं।)